بررسی روش های عددی برای حل چندین مسأله عکس استورم-لیوویل

در فصل اول به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی می پردازیم. در فصل دوم، ابتدا معادله y+q(x)y=?y, 0<x<1 با شرایط مرزی ‎y(0)=y^((j-1) ) (1)=0, j=1,2 را معرفی کرده، که در آن (q(x یک تابع پیوسته حقیقی مقدار می باشد که آن را تابع پتانسیل می نامیم. سپس به بیان روشی عددی جهت حل مسأله عکس مورد نظر می پردازیم. روش عددی مطرح شده در این فصل، روش عملگر انتقال نام دارد. هدف، یافتن تابع پتانسیل به کمک الگوریتم عددی پیشنهادی در پایان این فصل می باشد. از این الگوریتم عددی جهت تقریب جواب مسأله عکس مورد نظر با استفاده از روش عملگر انتقال، بهره می گیریم. در این الگوریتم، مقادیر ویژه به عنوان داده ورودی و تابع پتانسیل، داده خروجی می باشد. در فصل دوم، مطالب در دو بخش گنجانده شده است. در بخش اول به معرفی یک مسأله مقدار مرزی مشابه با فصل دوم با بازه متفاوت و با شرایط مرزی متفاوت، می پردازیم. ابتدا، روش جدیدی جهت حل عددی این گونه مسائل با عنوان روش داده طیفی، ارائه می شود. در نهایت در بخش دوم، الگوریتمی عددی جهت حل مسائل طیفی عکس با استفاده از روش داده طیفی، پیشنهاد می گردد. در این الگوریتم، داده طیفی به عنوان داده ورودی و تابع پتانسیل، داده خروجی می باشد. این روش، الگوریتم های عددی موثر جهت حل مسائل طیفی عکس و از جمله مسائل مقدار مرزی برای کلاس های وسیعی از عملگر های دیفرانسیل می سازد. در نهایت در فصل چهارم، پایداری جواب مسأله عکس (یعنی پیدا کردن تابع پتانسیل) مربوط به مسأله مقدار مرزی شامل معادله y+q(x)y=?y- ‎ به همراه شرایط مرزی در یک بازه متناهی که در فصل های دوم و سوم به آن اشاره شد، مورد بررسی قرار می گیرد‎. در بخش اول، ابتدا بدون کاستن از کلیت مسأله، پایداری مسأله مقدار مرزی فوق با شرایط مرزی مسأله مقدار مرزی ‎فصل سوم در حالتی که ‎ h=0 ‎ است را نشان می دهیم. در این بخش ابتدا معادله ای موسوم به معادله بورگ که یک معادله انتگرالی غیرخطی است، معرفی و برخی ویژگی های آن بیان می گردد. سپس وارد بحث قضیه یکتایی و اثبات آن می شویم که از جواب یکتای حاصل از معادله بورگ برای اثبات این قضیه بهره می گیریم. در این روش، جهت حل مسأله عکس موردنظر ابتدا یک معادله انتگرالی غیرخطی در نظر گرفته می شود. ویژگی های توابع ویژه مسائل مقدار مرزی موردنظر، نقش مهمی در روش بورگ ایفا می کنند. برای بررسی و مطالعه معادله غیرخطی بورگ، باید اثبات کرد که توابع ویژه فوق کامل می باشند. در بخش دوم نیز یک مسأله مقدار مرزی با شرایط دیریکله را معرفی کرده و سپس به بحث پایداری جواب مسأله عکس متناظر با آن یعنی تابع پتانسیل می پردازیم. برای اثبات قضیه پایداری، از ویژگی پایه ریس بودن توابع ویژه، بهره می گیریم. نشان دادن پایداری جواب این گونه مسائل، کارا بودن روش های عددی ذکرشده در فصل های قبل برای حل این گونه مسائل را تأیید می کند.